第6章 参数估计

一、单选题（10题）

1. 统计推论的理论基础是（ ） A. 描述统计 B. 概率论 C. 数理统计 D. 抽样调查

2. 下列关于无偏估计的说法，正确的是（ ） A. 估计值与总体参数完全相等 B. 估计值的数学期望等于总体参数 C. 多次抽样的估计值之和等于总体参数 D. 估计值的方差等于总体参数的方差

3. 样本方差公式中分母采用$n-1$$n - 1$的原因是（ ） A. 减少计算量 B. 满足无偏性要求 C. 符合正态分布 D. 简化公式形式

4. 当总体服从正态分布且方差未知时，总体均值的区间估计应采用的分布是（ ） A. 标准正态分布 B. t分布 C. χ²分布 D. 二项分布

5. 置信度$1-\alpha =0.95$$1 - \alpha = 0.95$对应的标准正态分布双侧分位点$Z_{\alpha /2}$$Z_{\alpha/2}$的值是（ ） A. 1.64 B. 1.96 C. 2.33 D. 2.58

6. 大样本情况下，总体成数区间估计的理论依据是（ ） A. 正态分布 B. 中心极限定理 C. t分布 D. 抽样分布

7. 下列哪个指标可以衡量估计值的分散程度，体现估计的有效性（ ） A. 均值 B. 方差 C. 中位数 D. 极差

8. 简单随机样本的核心特征是（ ） A. 样本容量足够大 B. 个体相互独立且同总体分布 C. 抽样方法简便 D. 总体分布为正态分布

9. 总体方差的区间估计中，所使用的统计量服从的分布是（ ） A. 正态分布 B. t分布 C. χ²分布 D. F分布

10. 大样本的标准在社会科学研究中通常界定为（ ） A. $n\ge 30$$n \geq 30$ B. $n\ge 50$$n \geq 50$ C. $n\ge 100$$n \geq 100$ D. $n\ge 200$$n \geq 200$

二、判断题（10题）

1. 统计推论仅适用于抽样调查资料，属于演绎推理范畴。（ ）

2. 样本均值是总体均值的无偏估计，样本标准差也是总体标准差的无偏估计。（ ）

3. 在样本容量一定的情况下，置信度越高，置信区间越窄。（ ）

4. 有限总体的非回置抽样在样本容量远小于总体容量时，可近似视为简单随机抽样。（ ）

5. 点估计是用一个区间范围来估计总体参数，精度高于区间估计。（ ）

6. 中心极限定理表明，无论总体分布如何，大样本均值的分布都近似正态分布。（ ）

7. 样本成数的方差计算公式为$\frac{p(1-p)}{n}$$\frac{p(1 - p)}{n}$，其中$p$$p$为总体成数。（ ）

8. t分布的方差随自由度增大而增大，当自由度趋近于无穷大时趋近于1。（ ）

9. 二总体均值差的点估计值等于两个样本均值之差。（ ）

10. 抽样分布的形状一定与总体分布的形状保持一致。（ ）

三、计算题（10题）

1. 某社区8户家庭的月人均收入（单位：元）分别为：3200、3500、3800、4000、4200、4500、4800、5000。请计算总体均值、方差和标准差的点估计值。

2. 已知某高校学生的考试成绩服从正态分布，随机抽取25名学生，平均成绩为82分，样本标准差为6分。求该高校学生平均成绩的95%置信区间（$t_{0.025}(24)=2.064$$t_{0.025}(24)=2.064$）。

3. *某企业职工每周加班时间服从正态分布，抽取10名职工调查，加班时间（单位：小时）为：2、3、4、4、5、5、6、6、7、8。计算总体方差的95%置信区间（${\chi }_{0.025}^2(9)=19.023$$\chi_{0.025}^{2}(9)=19.023$，${\chi }_{0.975}^2(9)=2.700$$\chi_{0.975}^{2}(9)=2.700$）。

4. 随机抽取50名居民，调查其每天阅读时间，平均时长为1.2小时，样本标准差为0.3小时。以99%的置信度估计该地区居民日均阅读时间的置信区间（$Z_{0.005}=2.58$$Z_{0.005}=2.58$）。

5. 某城市100户家庭中，有65户拥有智能家电，求该城市家庭拥有智能家电成数的95%置信区间。

6. 抽取甲、乙两个社区的居民收入数据，甲社区样本容量$n_1=60$$n_1 = 60$，平均收入${\bar{X}}_1=4800$$\overline{X}_1 = 4800$元，标准差$S_1=300$$S_1 = 300$元；乙社区样本容量$n_2=80$$n_2 = 80$，平均收入${\bar{X}}_2=4500$$\overline{X}_2 = 4500$元，标准差$S_2=250$$S_2 = 250$元。求两社区平均收入差的95%置信区间。

7. 某中学36名学生的体育达标成绩，平均分为78分，总体标准差已知为9分。求该校学生体育平均达标成绩的99%置信区间。

8. 某调研机构调查150名青年，其中90名使用线上办公软件，计算青年使用线上办公软件成数的90%置信区间。

9. 某工厂16名工人的日产量（单位：件）为：12、14、15、16、16、17、18、18、18、19、20、20、21、22、23、25。求总体均值的95%置信区间（$t_{0.025}(15)=2.131$$t_{0.025}(15)=2.131$）。

10. 甲、乙两地各抽取100户家庭，甲地有70户订阅报纸，乙地有55户订阅报纸。求两地订阅报纸成数差的95%置信区间（$Z_{0.025}=1.96$$Z_{0.025}=1.96$）。

四、应用题（20题）

1. 为研究某城市居民的消费水平，随机抽取100户家庭，调查得月均消费支出为5800元，标准差为1200元。请以95%的置信度估计该城市居民月均消费支出的置信区间，并解释置信区间的含义。

2. 某高校想了解学生参与志愿服务的情况，抽样调查200名学生，其中120名学生参加过志愿服务。试估计该校学生参加志愿服务成数的90%置信区间，并说明在社会学研究中该结果的应用价值。

3. 某社区开展垃圾分类宣传活动，活动前抽取50户家庭，垃圾分类达标率为40%；活动后抽取同样50户家庭，达标率为70%。以95%的置信度估计活动前后垃圾分类达标率差值的置信区间，分析宣传活动是否有效。

4. 为比较城乡居民的人均阅读量，农村抽取60人，平均年阅读量为6.5本，标准差为2.1本；城镇抽取80人，平均年阅读量为8.2本，标准差为1.8本。求城乡居民人均阅读量差值的99%置信区间，据此分析城乡阅读差异。

5. 某企业为提高员工满意度，实施了激励政策。随机抽取36名员工，政策实施前平均满意度为65分，标准差为8分；实施后平均满意度为72分，标准差为7分。以95%的置信度估计满意度提升幅度的置信区间（假设总体服从正态分布）。

6. 某县调查农村老年人口的健康状况，抽取80名60岁以上老人，平均每月就医次数为1.2次，标准差为0.5次。求该县农村老年人口平均每月就医次数的95%置信区间，并为当地养老服务规划提供参考建议。

7. 某电视台想了解某档节目的收视率，随机调查1500名观众，其中300名观看过该节目。以99%的置信度估计该节目收视率的置信区间，若电视台目标收视率为25%，判断该节目是否达到目标。

8. 为研究两种教学方法的效果，A方法抽样50名学生，平均成绩为78分，标准差为6分；B方法抽样45名学生，平均成绩为82分，标准差为5分。求两种教学方法平均成绩差值的95%置信区间，比较哪种方法效果更优。

9. 某社区调查居民对社区服务的满意度，抽取120户家庭，满意度平均分为82分，标准差为10分。求该社区居民满意度平均分的90%置信区间，并说明该结果对社区服务改进的意义。

10. 某城市调查青年创业情况，抽取200名青年，其中40名有创业经历。以95%的置信度估计该城市青年创业成数的置信区间，并分析该数据在制定青年创业扶持政策中的作用。

11. 从一个总体中采用放回抽样的方法抽出一个容量为50的样本，样本均值为25，样本标准差为2，求总体均值$\mu$$\mu$的95%的置信区间。

12. 从总体中抽取一个$n=100$$n=100$的简单随机样本，得到$\overline{x}=104$$\bar{x}=104$，样本标准差$s=85$$s=85$，要求：

    • （1）构建总体均值$\mu$$\mu$的90%的置信区间。

    • （2）构建总体均值$\mu$$\mu$的95%的置信区间。

    • （3）构建总体均值$\mu$$\mu$的99%的置信区间。

    • （4）观察置信度对置信区间的影响。

13. 利用下面的信息，构建总体均值$\mu$$\mu$的置信区间：

    • （1）总体服从正态分布，$\sigma$$\sigma$已知，$n=15$$n=15$，$\overline{x}=8000$$\bar{x}=8000$，置信度为95%。

    • （2）总体不服从正态分布，$s=50$$s=50$，$n=64$$n=64$，$\overline{x}=8000$$\bar{x}=8000$，置信度为95%。

14. *为检验产品的重量，某企业质检人员每天从当天产品中随机抽取12包过秤检验。某天秤得的重量如下（单位：千克）。假定重量服从正态分布，请根据此数据估计该产品平均重量的95%的置信区间。

    9.9	10.1	10.3	10.4	10.5	10.2	9.7	9.8	10.1	10.0	9.8	10.3

15. 为了解购买保湿护肤产品顾客的平均年龄，某品牌化妆品随机抽取购买保湿护肤产品的16位顾客进行调查，得到样本均值为30岁，样本标准差为8岁，假定顾客的年龄近似服从正态分布，试求购买保湿护肤产品顾客平均年龄的置信度为95%的置信区间。

16. 某高校从总体中随机抽取了200人组成样本，对其旷课原因进行问卷调查。有60人说他们旷课是由于任课教师讲课枯燥。请对由于这种原因而旷课的学生的比例构造95%的置信区间。

17. 从两个正态总体中抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表所示：

    • （1）已知${\sigma }_1^2$$\sigma_1^2$和${\sigma }_2^2$$\sigma_2^2$（总体方差已知），求${\mu }_1-{\mu }_2$$\mu_1 - \mu_2$的95%的置信区间。

    • （2）已知$n_1=10$$n_1=10$，$n_2=20$$n_2=20$，${\sigma }_1={\sigma }_2$$\sigma_1=\sigma_2$（总体方差相等），求${\mu }_1-{\mu }_2$$\mu_1 - \mu_2$的95%的置信区间。

    • （3）已知$n_1$$n_1$和$n_2$$n_2$（样本容量已知），${\sigma }_1={\sigma }_2$$\sigma_1=\sigma_2$（总体方差相等），求${\mu }_1-{\mu }_2$$\mu_1 - \mu_2$的95%的置信区间。

    来自总体1的样本	来自总体2的样本
    ${\overline{x}}_1=35$$\bar{x}_1=35$	${\overline{x}}_2=30$$\bar{x}_2=30$
    $s_1=12$$s_1=12$	$s_2$$s_2$

18. 为调查甲乙证券公司投资者的投资存款额，分别从两家证券公司抽取由64名投资者组成的随机样本，样本均值分别为${\overline{x}}_{\text{甲}}=45$$\bar{x}_甲=45$万元和${\overline{x}}_{\text{乙}}=32.5$$\bar{x}_乙=32.5$万元，标准差分别为$s_{\text{甲}}=9.2$$s_甲=9.2$万元和$s_{\text{乙}}=9.6$$s_乙=9.6$万元。试求这两个证券公司投资者平均投资存款额之差${\mu }_{\text{甲}}-{\mu }_{\text{乙}}$$\mu_甲 - \mu_乙$的置信度为95%的置信区间。

19. 为比较两位社保中心职员为新顾客办理个人开户项目的平均时间长度，分别给两位职员随机安排了10位顾客，并记录下每位顾客办理开户项目所要的时间（单位：分钟），相应的样本均值和方差分别为${\overline{x}}_1=22$$\bar{x}_1=22$，$s_1^2=16.54$$s_1^2=16.54$；${\overline{x}}_2$$\bar{x}_2$（原文缺失），$s_2^2$$s_2^2$（原文缺失）。假定两位职员办理的时间服从正态分布，且方差相等。求两位职员办理开户项目的平均时间之差${\mu }_1-{\mu }_2$$\mu_1 - \mu_2$的95%的置信区间。

20. 某大学某年共有1000名毕业生，其中男生600名，女生400名，分别随机抽取100名男生（$n_1=100$$n_1=100$）和80名女生（$n_2=80$$n_2=80$），发现通过英语6级考试的人数分别为45人和55人。试求该校男女毕业生通过英语6级考试比例差$p_1-p_2$$p_1 - p_2$的98%置信区间。