第5章 正态分布、常用统计分布和极限定理

一、单选题（10题）

1. 正态分布的两个核心参数μ和σ分别代表总体的（ ） A. 方差和标准差 B. 均值和方差 C. 均值和标准差 D. 众数和中位数

2. 标准正态分布的表示方法是（ ） A. $N(1,0)$$N(1,0)$ B. $N(0,1)$$N(0,1)$ C. $N(\mu ,{\sigma }^2)$$N(\mu,\sigma^2)$ D. $N(1,1)$$N(1,1)$

3. 当正态分布中σ不变，μ增大时，分布曲线会（ ） A. 向左平移 B. 向右平移 C. 变得更尖瘦 D. 变得更矮胖

4. t分布当自由度k趋近于无穷大时，会趋近于哪种分布（ ） A. χ²分布 B. F分布 C. 标准正态分布 D. 均匀分布

5. 中心极限定理中，当样本量n满足什么条件时，样本均值近似服从正态分布（ ） A. $n>10$$n>10$ B. $n>20$$n>20$ C. $n>30$$n>30$ D. $n>50$$n>50$

6. 正态分布曲线下，变量取值在$[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$$[\mu - 2\sigma,\mu + 2\sigma]$之间的概率是（ ） A. 0.6827 B. 0.9545 C. 0.9973 D. 0.5

7. χ²分布的自由度为k，其具有的重要性质是（ ） A. 对称性 B. 可加性 C. 恒为正态分布 D. 均值为0

8. 标准分Z的计算公式是（ ） A. $Z=\frac{x-\sigma }{\mu }$$Z=\frac{x - \sigma}{\mu}$ B. $Z=\frac{\mu -x}{\sigma }$$Z=\frac{\mu - x}{\sigma}$ C. $Z=\frac{x-\mu }{\sigma }$$Z=\frac{x - \mu}{\sigma}$ D. $Z=\frac{\sigma -x}{\mu }$$Z=\frac{\sigma - x}{\mu}$

9. F分布的自由度由两个参数组成，其中第一个参数是（ ） A. 分母自由度 B. 分子自由度 C. 总自由度 D. 样本自由度

10. 贝努里大数定理为以下哪种统计方法奠定了理论基础（ ） A. 区间估计 B. 假设检验 C. 用抽样成数估计总体成数 D. 方差分析

二、判断题（10题）

1. 正态分布的众值、中位值和均值三者是完全重叠的。（ ）

2. 标准正态分布曲线是以Z=1为对称轴的对称曲线。（ ）

3. χ²分布的曲线形状会随着自由度的增加逐渐趋向对称。（ ）

4. 中心极限定理要求随机变量原有分布必须是正态分布。（ ）

5. 当样本量n>30时，t分布与标准正态分布的曲线几乎完全一致。（ ）

6. 正态分布曲线无论向左或向右延伸，都会与横轴相交。（ ）

7. 切贝谢夫不等式只能对随机变量的概率进行保守估算，在分布已知时不如直接计算精确。（ ）

8. F分布具有$F_{1-\alpha }(k_1,k_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(k_2,k_1)}$$F_{1-\alpha}(k_1,k_2)=\frac{1}{F_{\alpha}(k_2,k_1)}$的性质。（ ）

9. 标准分的作用是将不同总体的变量值转化为可直接比较的相对位置指标。（ ）

10. 二项分布当np<5时，适合用正态分布进行近似计算。（ ）

三、计算题（10题）

1. 已知某地区青年初婚年龄服从正态分布$N(25,5^2)$$N(25,5^2)$，求某青年初婚年龄的标准分Z值为1时，其实际初婚年龄是多少？

2. 已知随机变量ξ服从标准正态分布$N(0,1)$$N(0,1)$，求$P(\xi \le 1.3)$$P(\xi \leq 1.3)$的值。

3. 某学校学生成绩服从正态分布，均值μ=75分，标准差σ=8分，求学生成绩在67 - 83分之间的概率。

4. 已知ξ服从标准正态分布$N(0,1)$$N(0,1)$，计算$P(\xi >1.3)$$P(\xi > 1.3)$的概率值。

5. 若随机变量ξ服从正态分布$N(50,5^2)$$N(50,5^2)$，将其转换为标准正态分布后，求对应x=61的标准分Z值。

6. *已知ξ服从自由度k=9的χ²分布，求满足$P({\chi }^2<{\chi }_{1-0.025}^2)$$P(\chi^2 < \chi_{1 - 0.025}^2)$的${\chi }_{1-0.025}^2$$\chi_{1 - 0.025}^2$值。

7. 某城市居民月消费支出服从正态分布$N(3000,{200}^2)$$N(3000,200^2)$，求居民月消费支出小于2600元的概率。

8. 已知ξ服从标准正态分布$N(0,1)$$N(0,1)$，计算$P(-1.3\le \xi \le 2.3)$$P(-1.3 \leq \xi \leq 2.3)$的概率。

9. *已知自由度k=10，α=0.05，求t分布中$t_{0.05}(10)$$t_{0.05}(10)$的值（参考t分布表）。

10. 某群体智商服从正态分布$N(100,{10}^2)$$N(100,10^2)$，求智商大于110的概率。

四、应用题（15题）

1. 北京市初婚年龄服从正态分布，均值为25岁，标准差为5岁，求25岁到30岁之间结婚的人数占总人数的百分比。

2. 某地高考政治科平均分为70分，标准差为10分；物理科平均分为50分，标准差为15分。甲考生政治70分，乙考生物理70分，通过计算标准分比较两人在各自科目中的相对水平。

3. 某地区少数民族占总人口的0.5%，现进行10000人的随机抽查，已知该分布可近似为正态分布，其中μ=50，σ²=49.75，求少数民族人数不超过70人的概率。

4. 某幼儿园共有100名儿童，儿童智商分布为$N(100,{10}^2)$$N(100,10^2)$，求智商在110 - 120之间的儿童人数。

5. *某地进行电话费用调查，平均电话费用为80元，标准差为10元，用切贝谢夫不等式估算电话费用在60 - 100元之间的概率。

6. 某单位奖金分为4万元和8万元两类，每种奖金发放概率均为0.5，求两次奖金之和为12万元的概率。

7. 共有5000个同龄人参加人寿保险，年死亡率为0.1%，求保险公司一年内从这些投保人中获利不少于400万元的概率。

8. 甲、乙两班某次考试成绩，甲班均值80分，标准差5分；乙班均值70分，标准差6分。甲班学生A考80分，乙班学生B考76分，通过标准分判断两人在班级中的排名谁更靠前。

9. 某城市评价指标中，工业总产值指标的均值μ=500亿元，标准差σ=80亿元，该城市该指标实际值为660亿元，计算其标准分并说明其在同类城市中的相对水平。

10. 某超市每日客流量服从正态分布，均值为1000人，标准差为150人，求每日客流量在850 - 1150人之间的概率。

11. 某快餐厅过去3年的日均营业额为3000元，标准差为500元，服从右偏分布。现从中随机抽取100天组成一个样本，问：（1）这个样本均值的标准差为多少？（2）这个样本均值大于3050的概率为多少？

12. 已知某城市初生婴儿的身高（单位：厘米）基本服从正态分布，即$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，如果从数千个该城市一周岁幼童中随机抽取4个孩子作为样本测量他们的身高，并计算样本均值，共抽取150次。问：有多少个样本均值为53厘米或更高？

13. 某蔬菜合作社1500户农户，上周平均销售额$\mu =3100$$\mu=3100$元，标准差$\sigma =350$$\sigma=350$元。现随机抽取49户作为随机样本，问：该样本在上周平均销售额低于3000元的概率是多少？

14. 抛掷一枚均匀的硬币120次，正面出现的次数占40%到60%的概率为多少？

15. 在某市考上大学的应届毕业生中随机抽取容量为500人的样本进行调查，发现女同学有286人，则这样抽取的容量为500的随机样本中考上大学的女同学所占比例的标准差为多少？