第九章 二总体假设检验

二总体假设检验的核心背景

• 社会现象的研究多围绕二变量关系展开，即探究两个变量（x与y）之间的关联。

• 示例：职业代际流动（父辈职业x与子辈职业y）、性别与收入差异、文化程度与生育意愿等。

• 二总体假设检验的目的：通过样本数据，推断两个总体在某一特征上的差异是否显著。

变量类型的划分

• 为适配不同统计方法，变量按测量层次分为四类：

  1. 二分变量：定类变量的特殊形式，取值仅两类（如性别：男/女、是否就业）。

  2. 定类变量：取值为多类且无顺序（如职业：教师/医生/工人）。

  3. 定序变量：取值有明确顺序但无等距性（如满意度：高/中/低）。

  4. 定距（或定比）变量：取值连续且有等距性（如收入、年龄、成绩）。

• 注：社会学研究中，定距与定比变量常合并处理（除智商等特殊变量）。

二变量统计方法对应矩阵

两种核心抽样类型

1. 独立样本（Independent Sample）

• 定义：从两个总体中，分别独立抽取随机样本进行比较研究。
• 特点：两个样本的观测值互不影响，样本个体无对应关系。
• 示例：从甲校抽取50名学生，从乙校抽取80名学生，比较两校成绩。

2. 配对样本（Paired Sample）

• 定义：仅抽取一个样本，每个个体先后观测两次，两次观测值分别视为两个总体的样本值。
• 特点：样本个体存在一一对应关系，可控制无关变量干扰。
• 适用场景：仅适用于“二分变量—定距变量”的研究（如同一对象实验前后的效果对比）。

大样本均值差检验的前提与假设

• 适用条件：样本容量足够大（，），满足中心极限定理。
• 总体与样本参数：
  • 总体A：（均值）、（方差）；样本A：、、
  • 总体B：（均值）、（方差）；样本B：、、
• 核心假设：
  1. 原假设 ：（常用 ，即两总体均值无差异）。
  2. 备择假设 ：
     • 双边检验：
     • 单边检验： 或

大样本均值差检验的统计量与拒绝域

• 统计量公式（、 未知时，用样本方差替代）：

  其中 ，（标准正态分布）。

• 拒绝域（显著性水平 ）：

  1. 双边检验： 或 （如 时，）。
  2. 单边检验（）：（如 时，）。
  3. 单边检验（）：。

例题1：就近上学与乘车上学学生成绩对比

• 题目：抽查就近上学学生800名（分，分），乘车上学学生1000名（分，分）。问两群体成绩是否有差异（）？
• 步骤1：建立假设：
  • ：（无差异）
  • ：（双边检验）
• 步骤2：计算统计量：

• 步骤3：确定临界值
  • ，双边检验得
• 步骤4：判断结果：
  • ，拒绝原假设。
  • 补充：，可进一步认为就近上学学生成绩更优。

例题2：男女工人同工同酬检验

• 题目：研究男女工人同工是否同酬，男性抽样120人，元，元；女性抽样60人，元，元。，问是否同工同酬？

大样本成数差检验的前提与假设

• 适用条件：二项总体，样本容量足够大（、；、）。

• 总体与样本参数：

  • 总体A：（成数）、；样本A：、

  • 总体B：（成数）、；样本B：、

• 核心假设：

  1. 原假设 ：（常用 ，即两总体成数无差异）。
  2. 备择假设 ：双边检验（）或单边检验（ 或 ）。

大样本成数差检验的统计量

• 统计量公式：
  1. 当 ： 时（两总体成数相等），用合并成数估计 ：

  2. 当 ： 时，直接用样本成数替代总体成数：

例题3：男女职业流动意愿的成数差检验

题目：男性1000人中52人愿换工作，女性1000人中23人愿换工作，，男性更期望职业流动？

• 步骤1：建立假设
  （男女流动意愿无差异），（男性更期望，单边检验）
• 步骤2：计算样本与合并成数
  ，，合并成数 ，
• 步骤3：计算Z统计量

• 步骤4：确定临界值
  ，单边检验得
• 步骤5：决策
  临界值 ，因，拒绝原假设，认为男性比女性更期望职业流动。

例题4：男女学生专业意识检验

• 题目：男生抽150人，百分之80愿从事对口工作；女生抽50人，百分之70愿从事对口工作。检验男生专业意识是否强于女生（）。

小样本均值差检验的前提与假设

• 适用条件：样本容量较小（ 或 ），且两总体均服从正态分布。

• 三类情况

小样本均值差检验步骤（方差未知，但 ）

• 步骤1：计算合并方差
  用于估计两总体共同的方差 ，公式为：

• 步骤2：构造t统计量

  • 其中 ， 为原假设中均值差（通常 ）,自由度 。

• 步骤3：决策规则（显著性水平 ）

  • 双边检验：若 ，拒绝 ；
  • 单边检验（）：若 ，拒绝 ；
  • 单边检验（）：若 ，拒绝 。

例题5：两民族家庭规模对比

• 题目：根据下列抽样结果，能否认为民族A的平均家庭人口多于民族B的平均家庭人口？民族A：，人，人；民族B：，人，人（）。

• 步骤1：建立假设

  ：，：

• 步骤2：计算合并方差

  ，；

• 步骤3：确定临界值与计算t统计量

  统计量 ；临界值

• 步骤4：决策

  >临界值，拒绝原假设，认为民族A家庭规模更大。

例题6：男女学生上网时间检验

• 题目：男女学生各抽20名，男生小时，小时；女生小时，小时。假设总体方差相等，，检验男女学生上网时间是否相同。

小样本正态总体方差比检验（F检验）：判断总体方差是否相等

• 核心目的：

  在小样本均值差检验前，需先检验两总体方差是否相等（），为 检验提供前提。

• 前提条件：

  两总体均满足正态分布。

• 假设与统计量：

  1. 原假设 ；

  2. 备择假设 :

     • 双边检验：；

     • 单边检验： 或 。

方差比检验（F检验）：判断总体方差是否相等

• 统计量公式（F分布）：

  其中分子自由度 ，分母自由度 。

• 决策规则（显著性水平 ）

  • 双边检验：若 ，拒绝 ；

  • 单边检验（）：若 ，拒绝 。

注： 统计量仅需比较右侧临界值（一般设定分子为较大样本方差）。

例题7：两正态总体方差对比

题目：A总体样本 （），B总体样本 （），，检验两总体方差是否有差异。

• 步骤1：建立假设
  （方差相等），（方差不等，双边检验）

• 步骤2：确定分子、分母与自由度
  ，，； ，，。

• 步骤3：计算F统计量

• 步骤4：确定临界值并决策
  ，双边检验取 ，查F分布表得 。
  因 ，不能拒绝原假设，认为两总体方差无显著差异，可采用合并方差t检验。

例题8：男女工人工资方差检验

• 题目：男性抽样120人，元；女性抽样60人，元。假设工资服从正态分布，，检验总体方差是否相等。

小样本二总体假设检验：方法选择流程图

配对样本检验

• 核心思想：通过计算配对观测值的差值 ，将二总体检验转化为单总体检验（检验差值总体的均值是否为0）。

• 适用条件：配对设计（如同一对象实验前后、配对的两组对象），且差值总体服从正态分布。

• 假设设定：

  1. 原假设 ：（两总体无差异，差值均值为0）；
  2. 备择假设 ：
     • 双边检验：；
     • 单边检验： 或 。

配对样本检验的统计量

• 统计量公式

  若是来自的样本，则有 ，其中，若未知，可用来代替。 为配对数目。

  此时，配对样本的平均值 的统计量将满足自由度 的 分布：

  其中 （差值均值），（差值标准差）。

配对样本检验的步骤

• 一、原假设

• 二、备择假设

  • 单边： 或

  • 双边：

• 三、统计量

• 四、拒绝域

  • 单边: ，

  • 双边: 或

例题9：企业改制前后竞争性对比

• 题目：以下是改制前后,某企业八个车间竞争性测量的比较。问:改革后,竞争性有无增加()。

• 研究假设： ，

• 统计量计算： ,

  统计量 ；

• 临界值计算 ，

• 结论 拒绝原假设，认为改制后竞争性显著提高。

例题10：学生专业喜欢程度配对t检验

题目：某专业在入学新生中随机抽取12名学生，测量其对专业喜欢程度的得分如下表中行所示。毕业前又对12名学生进行专业喜欢程度的测试，得分如下表中行所示。问经过四年学习，学生对专业喜欢程度有无提高？（）

例题10：学生专业喜欢程度配对t检验

• 步骤1：建立假设
  （喜欢程度无提高）
  （喜欢程度提高，单边检验）

• 步骤2：计算差值统计量

• 步骤3：确定临界值与计算t统计量
  自由度，，得

• 步骤4：结论
  因，拒绝原假设，认为经过四年学习，学生对专业喜欢程度有提高。

例题11：保健品是否提高记忆力

• 题目：某保健品广告称服用其产品能提高记忆力。随机抽取36人，要求其记100个英语单词，第二天能够回忆的单词数量如下表的第二列所示。服用保健品后，再要求其记100个英语单词，第二天能够回忆的单词数量如下表的第三列所示。问该保健品是否有提高记忆力的功效？（）

例题11：保健品是否提高记忆力

• 步骤1：建立假设
  （记忆力无提高）
  （记忆力提高，单边检验）

• 步骤2：计算差值统计量

• 步骤3：确定临界值与计算Z统计量
  ，得

• 步骤4：结论

  因，接受原假设，认为该保健品没有提高记忆力的功效。

独立样本与配对样本检验的差异

提示：相同数据下，配对样本检验的灵敏度更高，但需满足配对设计要求；若无法配对，需采用独立样本检验。