第八章 单总体假设检验

大样本假设检验的前提与基本步骤

• 大样本定义：样本容量 （社会调查中通常满足此条件），此时样本统计量（均值、成数）近似服从正态分布，可使用Z检验。

• 基本步骤：上章假设检验的通用步骤（判断检验类型→建立假设→选择统计量→确定临界值、拒绝域→计算样本统计量→判断结论），仅需根据“均值/成数”调整具体统计量与假设形式。

• 本节结构：先讨论大样本下的总体均值检验，再延伸至总体成数检验（成数视为特殊的二分变量均值）。

一、大样本总体均值检验（理论基础）

1. 样本均值的分布特性

大样本下，样本均值 趋向于正态分布：

• ：总体均值（待检验的参数）

• ：总体方差（未知时用样本方差 近似代替，即 ）

• ：样本容量（）

一、大样本总体均值检验（理论基础）

2. 标准化统计量（Z统计量）

对样本均值标准化，得到服从标准正态分布的Z统计量：

当原假设 成立时，统计量简化为：

（ 未知时用 替代）

一、大样本总体均值检验（理论基础）

3. 常用显著性水平与临界值

显著性水平 对应Z分布的临界值（用于确定拒绝域），核心值如下表：

一、大样本总体均值检验（检验步骤）

1. 建立假设

   • 原假设 （待验证的总体参数，如“统计报表的均值正确”）
   • 备择假设 （根据研究目的选择单边或双边）：
     • 双边检验（无明确方向）：（默认可省略方向描述）
     • 单边检验（有明确方向）：右单边： ； 左单边：

2. 选择统计量
   大样本均值检验统一使用Z统计量（ 未知时用 替代）：

3. 确定拒绝域
   根据 和 类型，查Z临界值表确定拒绝域：

   • 双边： 或 ； 右单边： ； 左单边：

4. 计算与判断
   代入样本数据计算Z值，若Z值落在拒绝域内，则拒绝 ；否则接受 。

示例1：验证养老金统计报表的正确性

为验证统计报表中“养老金人均收入 元”的正确性，抽样调查50位老人，得到样本数据：
样本均值 元 ，样本标准差 元 。（）

1. 建立假设

   • （报表正确，总体均值为880元）
   • （报表错误，总体均值不等于880元，双边检验）

2. 选择统计量
   大样本、 未知，用Z统计量：

3. 确定拒绝域
   ，双边检验，查临界值 ，拒绝域：

4. 计算与判断
   代入样本数据： ， 因 ，落在拒绝域内，故拒绝 。
   结论：根据抽样调查，不能认为养老金人均收入为880元，统计报表存在误差。

示例2：区间估计与假设检验的相通性

沿用示例1的样本数据（，，，），用区间估计判断是否接受.

• 区间估计步骤：

1. 确定置信水平：，对应临界值
2. 计算置信区间公式：
3. 代入数据： ，

与假设检验的关联

• 假设检验的接受域 = 区间估计的置信区间
  • 若 中的 落在置信区间内，接受 ；否则拒绝
  • 本例中 ，故拒绝 （与示例1结论一致）
• 区间估计与假设检验本质相通，二者均基于抽样分布与小概率原理，结论具有一致性。
  • 区间估计：通过样本推断总体参数的“可能范围”
  • 假设检验：判断总体参数的“假设值”是否在该范围内

示例3：计算第二类错误（纳伪错误）β值

沿用示例1的设定（，，，），若真实总体均值 （而非880），求接受 时犯第二类错误的概率 。

关键概念

• 第二类错误（β）：真实总体不满足 ，但样本数据导致接受 的概率（“纳伪”概率）。

• 计算逻辑：先求 下的接受域，再计算真实总体均值下样本均值落在该接受域的概率。

示例3：计算第二类错误（纳伪错误）β值

1. 步骤1：求 下的接受域临界值
   ，双边检验 ，接受域为 。将Z值转换为样本均值 的临界值：
   接受域：

示例3：计算第二类错误（纳伪错误）β值

2. 步骤2：计算真实总体下的Z值

   真实总体 ，对接受域临界值标准化：

3. 步骤3：求β值（概率计算）

   是真实总体下 落在接受域的概率，即：

   查标准正态分布表：， ，故 （约8%）

• 结论：若真实均值为870元，平均每100次抽样中，约有8次会错误接受“均值为880元”的原假设。

示例4：样本容量对β值的影响

沿用示例3的设定（，，，真实 ），样本容量增加到100，求β值。

1. 步骤1：重新计算接受域临界值（）

   ，标准误

   接受域：

2. 步骤2：计算真实总体下的Z值

   真实 ，标准化临界值：

3. 步骤3：求新的β值

   ，    则

样本容量对β值的影响

• 样本容量与的关系：在（弃真概率）不变的情况下，增加 会减小β（纳伪概率）（因标准误减小，接受域变窄，更易识别真实总体与的差异）。

• 实际启示：并非越大越好，需平衡“研究精度（ 大小）”与“成本（ 越大，经费与工作量越高）”，须根据可容忍的 确定 。

二、大样本总体成数检验（理论基础）

1. 成数的本质：特殊的均值

对定类二分变量（如“吸烟=1，不吸烟=0”）赋值 ，则：

• 总体成数 = 二分变量的总体均值（）

• 样本成数 = 二分变量的样本均值（）

2. 样本成数的分布特性

大样本条件（ 且 ）下，样本成数 趋向正态分布：

• ：总体成数（待检验的参数）

• ：样本成数的方差（记为 ）

二、大样本总体成数检验（理论基础）

3. 标准化统计量（Z统计量）

当原假设 成立时，标准化得：

（注：用 计算方差，因 假设总体成数为 ）

二、大样本总体成数检验（检验步骤）

示例5：检验戒烟宣传的成效

某地区成年人吸烟率原定为 （ 假设）。经过戒烟宣传后，抽样调查100名成年人，发现63人吸烟（样本成数 ）。问宣传是否有效（）？

1. 建立假设   研究目的：判断吸烟率是否下降（宣传有效），故设左单边检验：

   • （吸烟率未下降，仍为75%）
   • （吸烟率下降，宣传有效）

2. 选择统计量   大样本（，，），用Z统计量：

3. 确定拒绝域   ，左单边检验，查临界值 ，拒绝域：

4. 计算与判断
   样本成数 ，代入公式：
   因 ，落在拒绝域内，故拒绝 。

• 结论：在 的显著性水平下，有足够证据表明戒烟宣传收到成效，该地区成年人吸烟率显著低于75%。

第二节 小样本假设检验

1. 小样本的定义与限制

• 小样本：样本容量 （通常 ），此时样本统计量（如 ）不再近似服从正态分布，其分布依赖于总体分布类型。
• 本节范围：仅讨论总体服从正态分布的情况（社会研究中，许多连续变量如收入、年龄、智商等可近似正态分布），非正态总体的小样本检验需用非参数方法（超出本章范围）。

2. 与大样本检验的核心区别

一、单正态总体的均值检验（两种情况）

情况1：总体方差 已知

• 适用场景：

  总体方差已知（如长期积累的历史数据），且总体服从正态分布，无论n大小均可用Z检验。

• 检验步骤：与大样本均值检验完全一致（因总体正态，小样本下 仍服从正态分布）：

  1. 假设：；（双边/单边）

  2. 统计量：

  3. 拒绝域：根据α查Z临界值（如双边 ）

  4. 判断：计算Z值，对比拒绝域

一、单正态总体的均值检验（两种情况）

情况2：总体方差 未知（更常见）

• 适用场景：

  总体方差未知（社会研究中多数情况），用样本方差 替代，此时统计量服从t分布（而非正态分布）。

• t统计量定义：

  • 自由度 （t分布的关键参数，自由度越小，分布越扁平，尾部概率越大）

  • 当 增大时，t分布趋近于标准正态分布（故大样本下可用Z近似t）

总体方差 未知时：t检验的完整步骤

1. 建立假设

   • ；（双边：；单边： 或 ）

2. 选择统计量

3. 确定拒绝域
   根据α和自由度 查t分布表，得临界值 或 ：

   • 双边检验：
   • 右单边检验：
   • 左单边检验：

4. 计算与判断
   代入样本 、、 计算t值，若落在拒绝域则拒绝

示例6：检验地区平均初婚年龄是否超过20岁

已知某地区初婚年龄服从正态分布（满足小样本检验的总体分布要求）。抽样调查9人，得到：样本均值 岁，样本标准差 岁，问能否认为该地区平均初婚年龄已超过20岁（）？

1. 建立假设   研究目的：判断均值是否超过20岁（右单边检验）：

   • （平均初婚年龄未超过20岁）
   • （平均初婚年龄超过20岁）

2. 选择统计量   小样本（）、总体正态、 未知 → 用t统计量：

3. 确定拒绝域   ，右单边检验，查t分布表得临界值 ，拒绝域：

4. 计算与判断    ，因 ，落在拒绝域内，故拒绝 。

• 结论：在 的显著性水平下，有足够证据表明该地区平均初婚年龄已超过20岁。

二、单正态总体的方差检验（χ²检验）

二、单正态总体的方差检验（χ²检验）

3. 检验步骤

1. 建立假设
   • （总体方差等于假设值）
   • （备择假设）： ①双边： ；②右单边： ；③左单边：
2. 选择统计量

3. 确定拒绝域 根据和类型查分布表（自由度 ）：
   • 双边检验： 或
   • 右单边检验：
   • 左单边检验：
4. 计算与判断
   代入样本 、 和 计算χ²值，若落在拒绝域则拒绝

示例7：检验六年级小学生智商的标准差是否小于15

某研究人员认为“六年级小学生智商（IQ）的标准差 ”（）。随机抽查30名学生，得到： 样本均值 （均值不影响方差检验，可忽略），样本方差 （样本标准差 ） ，问该研究人员的看法能否被证实（）？

1. 建立假设 （左单边检验）
   • （总体标准差等于15，即 ）；（总体标准差小于15，即 ）
2. 选择统计量 总体正态、小样本（），用χ²统计量：

3. 确定拒绝域
   ，左单边检验，查χ²分布表得临界值 ，拒绝域：
4. 计算与判断 代入数据（）：
   因 ，未落在拒绝域内，故不能拒绝 ，即无法证实“”。

进一步验证：是否接受

• 补充检验 （右单边，），临界值
• 计算的 ，也不能拒绝
• 最终结论：接受 ，该地区六年级小学生智商标准差为15。

第八章 单总体假设检验

一、检验方法全景梳理

第八章 单总体假设检验

二、关键注意事项

1. 样本量与统计量选择：

   大样本优先用Z检验；小样本正态总体需区分“σ已知（Z）”和“σ未知（t）”，方差检验必用χ²。

2. 假设方向的确定：

   根据研究目的设定单边/双边检验（如“是否变化”用双边，“是否提高/降低”用单边）。

3. 两类错误的平衡：

   α（弃真）与β（纳伪）负相关，可通过增加n同时降低二者，但需权衡成本。

4. 区间估计与假设检验的一致性：接受域 = 置信区间，可相互验证结论。