第五章 正态分布、常用统计分布和极限定理

概率密度曲线的形成

• 当样本量无限增多、组距无限缩小（）时，频率分布直方图的顶边会逐渐形成一条光滑曲线，即概率密度曲线（记为）。
• 核心意义：
  • 概率密度曲线下的总面积 = 1（规范性，对应必然事件概率）；
  • 任意区间内的曲线下面积 = 随机变量在该区间取值的概率，即。

正态分布的定义

• 若一维随机变量 ，其概率密度函数（Probability Density Function, PDF） 满足以下形式，则称随机变量 服从参数为 的正态分布，记作 ：

其中：

• ，（常数）；
• ：分布的均值（期望），决定正态曲线的 位置 ；
• ：分布的标准差，决定曲线的 形状（）。

参数 和 对曲线的影响

1. 固定，变化：曲线沿 轴平行移动，形状不变。

2. 固定，变化： 越小，曲线越“陡峭”（取值集中于附近）； 越大，曲线越“平缓”（取值分散）。

正态分布的数学期望与方差

将概率密度函数代入数学期望和方差公式，可推导得：

1. 数学期望（均值）：

2. 方差：

3. 标准差：

• 结论：正态分布的两个参数 和 ，恰好是其数学期望和方差，无需额外计算。

小结：正态分布密度函数的特点

1. 密度函数的曲线是古钟形曲线，关于直线对称，并在处取得最大值。

2. 在轴上方，且以轴为水平渐近线。

3. 参数决定曲线的位置，参数决定曲线的形状：

   • 固定而改变值，图形沿着轴平行移动但形状不变；
   • 固定而改变值，曲线位置不变而形状改变，值越大时曲线越平缓，值越小，曲线越陡峭。

正态曲线下的面积（概率）

正态分布曲线下任意两点间的面积可由积分公式求出，它表示取值落在之间的概率有多大。

正态曲线下的面积（概率）

根据正态分布图形的对称性，如果用作为单位，那么，围绕着，各所代表的概率将如下图所示。
                 

正态曲线下的面积（概率）

变量取值在区间之间的概率

正态曲线下的面积（概率）

变量取值在区间之间的概率

正态曲线下的面积（概率）

变量取值在区间之间的概率

• 3σ准则：，概率极小，可认为随机变量的取值几乎全部集中在内。

第二节 标准正态分布

• 问题：不同和的正态分布（如、）需单独计算概率，不便应用。

• 解决方案：标准化转换，将一般正态分布 转换为统一的标准正态分布 。这意味着我们不需要为每一个可能的正态分布都创建独立的概率表。我们只需要一张标准正态分布表，也就是 表，就可以计算任何正态分布下的概率。

• 标准分（Z分）公式：

标准分（Z分）的实际意义

• 标准分以“均值为基准，标准差为单位”，可用于不同总体的取值比较：

  • 例1：甲班学生A成绩80分（，），乙班学生B成绩80分（，）：

    ，，说明B在乙班的相对成绩优于A在甲班。

  • 例2：两考生高考成绩（政治，；物理，）：甲政治70分，乙物理70分：

    ，，说明乙的物理成绩相对更优。

标准正态分布的密度函数

利用标准分公式，将一般正态分布 转化为标准正态分布

• 标准正态分布的均值、方差

• 当时，一般正态分布退化为标准正态分布，即（此时），故标准正态分布可看作一般正态分布的特例，记作 。

标准正态分布的密度函数

标准正态分布的性质

1. 对称性：概率密度曲线关于对称，即，且（）；

2. 峰值位置：在处取得最大值；

3. 单调性：在内单调递增，在内单调递减；

4. 渐近性：曲线在横轴上方且横轴为其水平渐近线，即曲线向左右两侧无限趋近于横轴，永不相交。
   

一般正态分布与标准正态分布的关系

若 ，密度函数和分布函数分别为 和 。则 ，标准正态分布的密度函数和分布函数分别记为 和 。则有，

即随机变量 ，则随机变量 落在任一区间内的概率可以转化成标准正态分布来进行计算：

一般正态分布与标准正态分布的关系

• 标准化转换完成后，原正态分布随机变量在之间取值的概率等于标准正态变量 在之间取值的概率，其中 ，。

一般正态分布与标准正态分布的关系

查表实例（基础应用）

• 实例1：已知，求、、

• 实例2：已知，求、

查表实例（结合一般正态分布）

• 实例3：已知（，即），求和

查表实例（结合一般正态分布）

• 实例4：班级成绩分布（），求成绩在75~85分的学生百分比

查表实例（实际应用：零件质量检验）

• 实例5：自动车床生产零件长度（单位：mm），规定mm为合格品，求：

1. 零件的合格品率；
2. 重复抽检3个零件，至少1件合格的概率。

第四节 常用统计分布

1. χ²分布（卡方分布）

χ²分布的定义

• 设随机变量相互独立，且均服从标准正态分布，则其平方和 服从自由度为的χ²分布，记作。

分布的概率密度函数

其中为伽马函数，自由度是χ²分布的核心参数（表示独立随机变量的个数）。

• 若服从，标准化后仍满足χ²分布：

2. t分布（“学生”分布）

t分布的定义

• 设随机变量、且相互独立，则随机变量服从自由度为的t分布，记作：

• 应用场景：总体标准差未知且样本量较小时（），用于总体均值估计、均值比较等。

t分布的概率密度函数

3. F分布

F分布的定义

• 设随机变量、且相互独立，则随机变量服从自由度为的F分布，记作：

其中为分子自由度，为分母自由度（位置不可互换）。

• 应用场景：用于方差齐性检验、方差分析（ANOVA）等。

F分布的概率密度函数

第五节 大数定理与中心极限定理

大数定理的核心思想

• 要研究随机现象的规律性必须作大量的观察或试验。对于随机现象而言，个体的表现是纯属偶然的，但大量随机现象中，个体的偶然性会相互抵消，总体呈现稳定性：

  • 频率稳定于概率（如多次掷硬币，正面频率趋近于0.5）；
  • 样本均值稳定于总体均值（如多次抽样，样本均值趋近于）。

• 阐明在大量观察或实验中，随机现象稳定性的一系列定理称为大数定理。

• 大数定理是研究随机现象规律性的理论基础。

1. 切贝谢夫不等式

• 设随机变量 的数学期望、方差，则不论 的分布如何，对任意，有：

或等价形式：