第四章 离散型随机变量的分布

加法原理与乘法原理

1. 加法原理（分类计数原理）

• 定义：若完成一件事有类互斥方案，第1类方案有种方法，第2类方案有种方法，…，第类方案有种方法，则完成这件事的总方法数为各类方法数之和。
• 核心特征：“分类、互斥、任选一类即可完成”（如从A地到B地，可选高铁或飞机，高铁3种班次、飞机2种班次，总方法数=3+2=5）。
• 公式：

• 示例：
  • 出行选择：从北京到上海，可选高铁（4个班次）或飞机（5个航班），总出行方式=4+5=9种。
  • 点餐组合：餐厅点一个菜，可选炒菜（4种）或炖菜（2种），总点法=4+2=6种。
  • 周末活动：周末可选跑步（3条路线）、骑车（2条路线）或游泳（1个泳池），总选择=3+2+1=6种

加法原理与乘法原理

2. 乘法原理（分步计数原理）

• 定义：若完成一件事需经过个连续步骤，第1步有种方法，第2步有种方法，…，第步有种方法（每步方法数依赖于前一步，但总数固定），则完成这件事的总方法数为各步方法数之积。
• 核心特征：“分步、连续、所有步骤都完成才算完成”（如从A地到B地再到C地，A→B有3种交通方式，B→C有2种交通方式，总方法数=3×2=6）。
• 公式：

• 示例：
  • 穿搭搭配：选一套服装需分三步——上衣（4件）、裤子（2条）、鞋子（3双），总搭配=4×2×3=24种。
  • 旅行路线：从甲城到丙城需经乙城中转，甲→乙有3条路线，乙→丙有2条路线，总路线=3×2=6种。
  • 套餐组合：餐厅套餐需选主菜（意大利面、披萨、汉堡）和饮料（汽水、果汁），总组合=3×2=6种；若披萨新增2种口味、果汁新增2种，则总组合=5×4=20种

加法原理与乘法原理

3. 关键区别与适用场景

注意：实际问题中常需“加乘结合”——先分类，每类内部分步。

排列的类型（一）：重复排列

• 定义：从 个各不相同的元素中，每次任取1个，取后放回，连续取 次，将每次取出的元素按顺序排列，所有不同序列的种数称为重复排列数，记为。

• 计算公式：
  每次取法均有 种选择，取 次的总序列数为：

• 核心特点：元素可重复选取，顺序对结果有影响（如“12”与“21”为不同序列）。

排列的类型（二）：非重复排列

• 定义：从 个不同元素中，任取 个不同元素（），按顺序排列，所有不同序列的种数称为非重复排列数，记为（或）。

• 计算公式：

  第1次取：种选择；第2次取：种选择（排除已选元素）；…第次取：种选择，总排列数为：

  其中“”（n的阶乘）表示，规定。

• 特殊情况：全排列：当时（取所有元素排列），（如4个元素全排列数为）。

例题：非重复排列计算

1. 练习1：计算从8个不同元素中任取3个的排列种数。

2. 练习2：从1-7这7个数中任取3个不同数组成三位数，求其中偶数的个数。

3. 练习3：5栋大楼分配给5个单位（每单位1栋），求分配方案数。

组合的定义与计算

• 定义：从 个不同元素中，任取 个元素（）构成一组，不考虑元素顺序，所有不同组的种数称为组合数，记为（或）。

• 核心区别：
  排列关注“顺序”（如“AB”与“BA”为不同排列）；组合关注“组别”（如“AB”与“BA”为同一组合）。

• 计算公式：
  组合数 = 非重复排列数 ÷ 取出m个元素的全排列数（消除顺序影响），即：

  性质：（如，取3个与留5个的组数相同）。

例题：组合数的实际应用

• 题目1：家庭成员共8人，求有多少对人际关系（二人构成一对，与顺序无关）。

• 题目2：6个养鸡场承包给甲（1个）、乙（2个）、丙（3个），求承包方案数。

二点分布（0-1分布）的定义

• 适用场景：随机现象的结果仅分两类（如“是/否”“成功/失败”“已婚/未婚”），是最简单的离散型分布，也是二项分布的特殊情况（仅1次试验）。

• 编码规则：为简化计算，将两类结果用0和1编码（仅为定类变量的标识，无数值意义）：

  • ：表示“非目标结果”（如“失败”“否”），概率为；
  • ：表示“目标结果”（如“成功”“是”），概率为。

• 概率分布表：

  	0	1

  其中 （，）。

二点分布的性质

1. 概率非负性：，（概率不能为负）。

2. 概率规范性：（覆盖所有可能结果）。

3. 数学期望与方差：
   根据期望（）和方差（）定义计算：

   • 期望：（反映目标结果的平均发生概率）；

   • 方差：（反映结果的离散程度）。

4. 变量类型：为虚拟变量（取值0/1仅为分类编码，无大小关系）。

重伯努利试验

• 伯努利试验

  • 指只有两个可能结果的随机试验。

• 重伯努利试验

  • 如果试验在相同的条件下重复次，并且每次的试验结果相互独立，则称重伯努利试验。或者说，将伯努利试验独立地重复次作为一个试验，则称该试验为重伯努利试验或重伯努利概型。

• 二点分布—— 一次伯努利试验的概率分布；

• 二项分布—— 次伯努利试验的概率分布。

• 二点分布是二项分布的特殊情况。

重伯努利试验的特征

• 将二点分布对应的“单次试验”（伯努利试验）独立重复次，称为“重伯努利试验”，需满足如下4个条件：

  1. 试验次数固定（次）；

  2. 每次试验仅两种结果（目标结果A，概率 ；非目标结果，概率 ）；

  3. 各次试验相互独立（某次结果不影响其他次），且在相同条件下重复进行；

  4. 每次试验中 和 保持不变。

对于重伯努利试验，我们所关注的核心问题是次试验中有次成功的概率

二项分布的定义

• 定义：设 为 重伯努利试验中“目标结果A发生的次数”，则 的概率分布称为二项分布，记为 ，其中 （试验次数）和 （单次试验A的概率）为参数。

• 概率公式：
  取值为（）的概率为：

  其中表示“次试验中选次成功”的组合数（消除顺序影响），为次成功的概率，为次失败的概率。

例题1：重复访问中的离婚者概率

• 题目：100位被访者中有5位离婚（单次访问到离婚者的概率），可重复访问3位，求恰有2位离婚的概率。
• 分析：
  可重复访问满足“n重伯努利试验”条件（n=3，p=0.05，独立，仅“离婚/未离婚”两类），故（3位中离婚者数），需计算。

例题2：灯泡损坏概率计算

• 题目：某类灯泡使用1000小时以上的概率为0.2（即“使用1000小时会坏”的概率），求3个灯泡使用1000小时后“最多1个坏”的概率。
• 分析：
  设为3个灯泡中“已坏的个数”，则，“最多1个坏”即或，需计算。

二项分布的区间概率计算

根据二项分布公式，我们不仅可以知道随机变量整个概率分布的全貌，而且还可以计算变量在某一区间内的概率，核心是利用“概率的可加性”（互不相容事件概率和）：

1. 事件A至多出现m次：

   • 例如，“3个灯泡中坏的个数≤1”，即和的概率和。

2. 事件A至少出现m次：

   • 例如，如“5次抽样中次品数≥1”，可简化为，减少计算量。

3. 事件A出现次数在[a, b]之间：

   • 例如，如“10次射击中命中数在4-8之间”。

4. 概率规范性验证：（二项式定理，所有结果概率和为1）。

例题3：抽样中次品数的区间概率

• 题目：100件产品含10件次品（放回抽样，单次抽中次品概率），连续抽5次，设为次品数（），求：
  1. 次品数不超过2件的概率；
  2. 至少1件次品的概率。

例题4：射击命中次数的区间概率

• 题目：某人射击的命中率为0.9，在10次射击中，求：（1）恰有4次命中的概率；（2）最多命中8次的概率；（3）至少命中1次的概率。

二项分布的性质与应用条件

1. 核心性质

• 分布类型：离散型分布，取值为（共个取值）。

• 图形特征：

  • 当时，分布对称（如，，）；
  • 当时，分布不对称（时右偏，时左偏），但越大，不对称性越弱。

• 期望与方差：
  利用“”（为独立的0-1分布变量）推导：

  • 期望：（n次试验中目标结果的平均发生次数）；
  • 方差：（反映次数的离散程度，）。

• 概率查询：除公式外，可通过“二项分布表”快速查询（按和查找对应的概率或累计概率）。

2. 应用条件

二项分布的使用需严格满足以下3个条件，否则会导致结果偏差：

1. 二分类结果：各观察单位的结果仅分两类（如“合格/不合格”“患病/未患病”），且互斥。
2. 概率恒定：单次试验中目标结果的概率固定（如放回抽样，总体大时不放回抽样可近似）。
3. 独立性：各次试验相互独立（如抽样时个体间无关联，试验条件无变化）。

3. 二点分布与二项分布的关系

• 特殊与一般：

  • 二点分布是二项分布在时的特殊情况（仅1次试验），即等价于二点分布。

• 逻辑推导：当时，二项分布公式简化为：

  • ：；：，与二点分布完全一致。

超几何分布的定义（不放回抽样）

• 适用场景：当总体规模较小（如小群体研究），且采用不放回抽样时，单次试验中目标结果的概率 会随抽样过程变化（不满足二项分布的“概率恒定”条件），此时需用超几何分布描述“样本中目标结果的个数”。
• 总体设定： 总体共个元素，分为两类：
  • A类（目标类）：个元素，概率 ；
  • 非A类： 个元素，概率。
    从总体中不放回抽取 个元素，设为“样本中A类元素的个数”，则服从超几何分布，记为，参数为（样本量）、（总体中A类数）、（总体规模）。
• 概率公式：
  取值为（，）的概率为：
  其中为“从个A类中选个”的组合数，为“从个非A类中选个”的组合数，为“从个总体中选个”的总组合数（古典概型）。

例题1：产品抽样中的次品数概率

• 题目：100个产品含3个次品（，，A类=次品），不放回抽5个（），求样本中次品数 的概率函数（即）。
• 分析：
  总体规模较小，不放回抽样导致抽中次品的概率随次数变化（如第一次抽中次品概率=3/100，未抽中则第二次概率=3/99），故 ，需用超几何分布公式计算。

例题2：小群体中的性别分布概率

• 题目：小组共10人（），其中男性7人（，A类=男性），不放回抽3人（），求样本中男性人数的概率分布。

超几何分布的性质

1. 期望与方差

• 期望公式：
  超几何分布的期望反映样本中A类元素的平均个数，公式为：
  （其中，与二项分布的期望形式一致，体现“平均比例不变”）。
• 方差公式：
  由于不放回抽样导致独立性减弱，方差需引入“有限总体校正因子”，公式为：
  （其中，当很大时，，方差近似为，与二项分布一致）。

超几何分布的性质

2. 与二项分布的关系（近似条件）

当总体规模远大于样本量（通常）时，不放回抽样对的影响可忽略（如，，抽1个后变化极小），此时超几何分布可近似为二项分布（）。

• 数学表达：当时，。

• 实际意义：大总体抽样时，可直接用二项分布简化计算（无需考虑总体规模）。

泊松分布的假定

• 适用场景：描述“单位时间/空间内稀有事件发生次数”的概率分布（如每分钟电话呼唤数、每天交通事故数、每毫升水中细菌数），是二项分布在“很大、很小”时的极限分布。

• 核心假定（事件流条件）：

  1. 稳定性：单位时间 / 空间内事件发生的平均速率λ恒定（概率规律不随时间变化），即事件在所有时间段内发生的概率都相等，既不会大量集中在某些时间段，也不会在某个时间段很少发生。

  2. 独立性：不同时间段 / 空间内的事件发生相互独立（无关联）。

  3. 稀有性：将一个时间段分成极小的子时间段，在每个极小时间段内，事件发生一次的概率和时间段的长度成正比；且同一瞬间 / 极小空间内，事件发生 2 次及以上的概率趋近于 0（仅 0 或 1 次，两个事件不可能同时发生）。

泊松分布的定义

• 定义：设 为单位时间/空间内事件发生的次数，若 的概率分布满足以下公式，则称 服从泊松分布，记为（或），其中为唯一参数（表示单位时间/空间内事件的平均发生次数）。

• 概率公式：
  取值为（，非负整数）的概率为：

  其中为自然常数，为的阶乘（规定）。

泊松分布的推导（二项分布的极限）

• 推导背景：当二项分布满足“很大（）、很小（）、（为常数，大小适中）”时，直接计算十分繁琐（如，，需计算），需寻求极限分布。
• 关键步骤：
  令 （因），，代入二项分布公式并取极限：
  （其中，为重要极限）。

例题1：电话呼唤次数的概率计算

• 题目：某电话交换台每分钟收到的呼唤次数 （，即平均每分钟3次呼唤），求：

  1. 每分钟呼唤5次的概率；
  2. 每分钟呼唤不超过5次的概率。

• 分析：
  已知，直接代入泊松分布公式计算，或查“泊松分布表”（按查找对应的概率）。

• 解答过程：

  1. ：
     代入公式：（与泊松分布表结果一致）。
  2. ：
     需计算到的概率和，查泊松分布表得：

例题2：二项分布的泊松近似计算

• 题目：电话站为300个用户服务（），一小时内每户使用电话的概率（很小），求一小时内使用电话的用户不超过4户的概率。

• 分析：
  若用二项分布 计算，需计算到的概率和，步骤繁琐；因很大（300）、很小（0.01）、（，大小适中），符合泊松近似条件，故 近似服从。

• 解答过程：
  查泊松分布表（），计算：

  （若用二项分布直接计算，结果约为0.8142，与近似值误差极小，验证了近似的有效性）。

• 泊松近似的适用条件：

  1. （试验次数足够多）；
  2. （单次试验概率足够小）；
  3. （大小适中，避免分布过度偏斜）。

• 优势：无需知道和的具体值，仅需即可计算，大幅简化大样本、小概率事件的概率计算。

泊松分布的性质

• 分布类型：
  离散型分布，取值为所有非负整数（），无上限（但越大，概率越小，趋近于0）。
• 图形特征：
  • 当 较小时（如 ），分布右偏（少数大值拖尾）；
  • 当 增大时（如 ），分布逐渐对称，趋近于正态分布。
• 期望与方差： 泊松分布的期望和方差相等，均等于参数 ：
  • 期望：（单位时间/空间内事件的平均发生次数）；
  • 方差：（反映次数的离散程度，与平均发生次数一致）。
• 概率查询：可通过“泊松分布表”快速查询，常见表型包括：
  • （单点概率）；
  • （累计概率）；
  • （上侧累计概率，等于）。

泊松分布的实际应用案例（稀有事件研究）

• 案例1：普鲁士军队马踏死士兵数（经典案例）：
  统计20年间10个师团的马踏死士兵数，实际频次与的泊松分布理论次数高度吻合（如下表），验证了稀有事件服从泊松分布的规律：

  死亡人数	0	1	2	3	4
  实际频次	109	65	22	3	1
  理论次数（）	109.8	65.9	19.8	4.0	0.6

• 案例2：新生儿出生数：
  考察某医院上午10-12点“每分钟自然分娩新生儿数”，满足泊松分布的3个假定（稳定性、独立性、稀有性），故可通过（平均每分钟出生数）预测某分钟出生0个、1个或2个新生儿的概率，用于资源调配（如产房准备）。

• 案例3：产品缺陷数：
  某批次产品的“每100件缺陷数”服从的泊松分布，可计算“随机抽100件无缺陷”的概率，用于质量控制。

本章分布的核心区别与适用场景总结

记忆口诀：单次试验用二点，n次独立用二项，小总体不放回用超几何，稀有事件用泊松；大总体超几何近似二项，大n小p二项近似泊松。