第三章 概率

概率论的产生与发展

• 起源背景：17世纪人口统计、人寿保险等工作需处理大量随机数据，而赌博者的请求成为数学家思考概率问题的直接源泉。
• 关键奠基人及贡献：
  1. 帕斯卡（1623—1662）与费尔马（1601—1665）：通过通信讨论赌博机率问题，发表《骰子赌博理论》，被视为概率论创始人。
  2. 棣莫弗：发现正态方程式，为后续正态分布研究奠定基础。
  3. 伯努利：提出二项分布理论，描述独立重复试验中事件发生的概率规律。
  4. 拉普拉斯：发表《概率分析论》，奠定古典概率理论基础，并将概率应用于自然与社会研究。
  5. 泊松：提出泊松分布，适用于描述稀有事件发生的概率分布。
  6. 高斯：提出最小平方法，在数据拟合与误差分析中广泛应用。

客观现象的分类与随机现象特点

• 客观现象的两类划分：

  类型	定义	示例
  确定性现象	在一定条件下必然发生的现象	水在标准大气压下100℃沸腾、太阳东升西落
  非确定性现象（随机现象）	一次观察中可能出现或不出现，可能以多种方式出现的现象	掷骰子出现的点数、某地区明天的降雨量、随机抽取一人的职业

• 随机现象的核心特点：

  1. 偶然性（随机性）：单次观察结果不确定，无法精确预测。
  2. 规律性（统计规律性）：大量重复观察或试验后，结果呈现稳定的分布规律（如多次掷骰子，各点数出现频率趋近于1/6）。

• 重要说明：绝大多数社会现象属于随机现象（如人口收入分布、教育水平分布），需通过概率与统计方法揭示其规律。

统计规律性的定义

• 定义：在一定条件下，个别单次观察结果具有偶然性，但大量重复试验或观察后，结果会呈现出必然的、稳定的规律性，这种规律性称为统计规律性。
• 示例：
  • 单次掷硬币，正面或反面朝上是随机的；但连续掷1000次，正面朝上的次数通常接近500次，频率趋近于0.5，体现统计规律性。
  • 某超市单日客流量可能波动较大，但长期（如一年）每日客流量的平均值与分布会趋于稳定，可用于预测与规划。

概率的概念与取值范围

• 概率（P）的定义：在统计学中，概率用于表示随机事件发生可能性的大小，通过标准化处理（用0-1之间的数值）实现大小比较。

• 三类事件的概率取值：

  1. 不可能事件（Ø）：在一定条件下必然不发生的事件，概率
     • 如“掷骰子出现点数7”。
  2. 必然事件（S）：在一定条件下必然发生的事件，概率
     • 如“掷骰子出现点数1-6中的一个”。
  3. 一般随机事件（E）：介于不可能事件与必然事件之间的事件，概率满足
     • 如“掷骰子出现点数3”。

• 概率排序关系：
  不可能事件（） 随机事件（） 必然事件（）

概率的运算（一）：事件之间的关系（1-3）

• 1. 事件的包含与相等：

  • 包含：若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记作 或 （如“出现点数2”“出现偶数点”）。

  • 相等：若 且 ，则 （如“出现点数1-3”与“出现点数小于4”相等）。

• 2. 事件和（并集）：

  • 定义：事件A与B中“至少有一个发生”所构成的新事件C，记作 或 。
  • 示例：A=“出现点数2”，B=“出现点数3”，则 =“出现点数2或3”。

• 3. 事件积（交集）：

  • 定义：事件A与B中“同时发生”所构成的新事件C，记作 或 。
  • 示例：A=“出现偶数点”，B=“出现点数大于3”，则 =“出现点数4或6”。

概率的运算（一）：事件之间的关系（4-6）

• 4. 互不相容事件（互斥事件）：

  • 定义：事件A与B不能同时发生，即 （空集）。
  • 示例：A=“出现点数2”，B=“出现点数3”，二者互斥（无法同时出现）。

• 5. 对立事件（逆事件）：

  • 定义：满足两个条件：①A与B互不相容（）；②一次试验中必有一个发生（，S为样本空间），记作 或 。
  • 示例：A=“出现偶数点”，对立事件 =“出现奇数点”（非偶即奇，且不同时发生）。

• 6. 相互独立事件：

  • 定义：事件A的发生与否对事件B发生的概率无影响，反之亦然，记作 或 （B发生时A的概率=A本身的概率）。
  • 示例：连续掷两次骰子，第一次“出现点数2”与第二次“出现点数3”相互独立（第一次结果不影响第二次）。

事件关系的关键辨析（1）：互不相容与对立

• 联系与区别：

• 集合视角理解：

  • 互不相容：A与B的交集为空集（无重叠区域），但二者并集可能不是全集。
  • 对立：A与B的交集为空集，且并集为全集。

事件关系的关键辨析（2）：互不相容与相互独立

• 核心区别：

  维度	互不相容事件	相互独立事件
  定义本质	事件发生的“结果排斥”（不能同时发生）	事件发生的“概率无关”（一个发生不影响另一个的概率）
  前提假设	以“不能同时发生”为核心	以“可以同时发生”为前提（除非包含不可能事件）
  概率关系	若A、B互不相容，则	若A、B相互独立，则
  示例	A=“点数2”，B=“点数3” （不能同时发生，故不独立）	A=“第一次掷出2”，B=“第二次掷出3” （可同时发生，且概率无关）

• 重要结论：
  一般情况下，两个事件不可能既互不相容又相互独立（除非其中一个是不可能事件）。因为相互独立要求事件可同时发生（），而互不相容要求 ，二者矛盾。

概率的运算（二）：加法公式

• 1. 简化式（互不相容事件适用）：
  若事件A与B互不相容（），则“事件和A+B”的概率等于A、B概率之和：

• 推论（n个互不相容事件）：
  若 两两互不相容，则：

• 示例：
  掷骰子，求“出现点数1或2”（A=“1点”，B=“2点”，互不相容）的概率：

概率的运算（二）：乘法公式

• 2. 一般式（任意事件适用，含条件概率）：
  若事件A与B不独立，需引入条件概率（某事件发生前提下另一事件的概率），公式为：

• 条件概率定义：

  • 表示“事件A发生的条件下，事件B发生的概率”， （）；

  • 表示“事件B发生的条件下，事件A发生的概率”， （）。

• 推论1（3个事件）：

• 推论2（n个事件）：

• 示例： 袋中有2红1白共3球，不放回摸球，A=“第一次摸红球”（），B=“第二次摸红球”（），则 。

生活中，我们会发现一些事件的发生会往往伴随另一件事件的更高或更低概率的发生，这种情况叫做事件的“相关性”

概率的运算（二）：逆概公式（贝叶斯公式）

• 核心概念辨析：

  类型	定义	示例（疾病检测）
  先验概率	事件发生前已知的“原因”概率	患病概率 （人群固有患病率）
  后验概率	事件B发生后，更新的“原因”概率	检测阳性后患病的概率 （更新后的风险）

• 示例（延续全概公式场景）：

  已知 ，，，，，则：

  （即检测阳性者中，实际患病概率仅约8.7%，需结合其他指标进一步判断）。

贝叶斯公式例题：癌症检测阳性的实际患病概率

• 题目背景： 某地区癌症患病率为0.0004，肿瘤标记物检测法对癌症患者的阳性率（）为0.95，对非癌症患者的假阳性率（）为0.10。某人检测结果呈阳性，求其真正患癌的概率。
• 步骤1：定义事件：
  • = “某人患癌症”， = “某人未患癌症”（ 为完备事件组）； = “某人检测结果呈阳性”。
• 步骤2：明确已知概率：
  • 先验概率：，；
  • 条件概率：，。
• 步骤3：用全概公式计算 （检测阳性的总概率）：

• 步骤4：用贝叶斯公式计算 （阳性者实际患病概率）：

• 结论：检测阳性者中，真正患病概率仅约0.38%（平均1000名阳性者中不到4人患病），需避免过度恐慌，需进一步复查确认。

案例：新冠肺炎核酸检测“假阴性”

——谁是“假阴性”新冠肺炎患者
南方周末曾发了一篇文章，题目是《谁是“假阴性”新冠肺炎病人》，指出了一个问题，就是病人实际上被新冠病毒感染了，但是核酸检测结果为阴性。实际被感染，但是检测不到病毒，这就叫“假阴性”。
文章讨论了一些可能导致假阴性的原因，如样本采集方式、取样技术、实验操作规范、试剂盒灵敏度等。我们从贝叶斯概率的视角来分析一下 “假阴性”的影响。
医生诊断的逻辑，与人体发病，恰好是相反的。人体发病，是先有病因，再有各种症状。而医生只能根据检测结果，来推测可能的病因。这种由果推因的思想，就是贝叶斯统计。

案例：新冠肺炎核酸检测“假阴性”

• 背景：“假阴性”指实际感染新冠病毒（）但核酸检测结果为阴性（）的情况，可能由样本采集、试剂盒灵敏度等因素导致。需计算“检测阴性者实际感染”的概率 。
• 步骤1：定义事件与参数设定： = “实际感染”， = “无感染”； = “核酸检测阴性”；
• 步骤2：设定参数： （基于武汉市疫情数据与报道）：
  • 实际感染概率 （1.3/1000），；
  • 假阴性概率 （检测阴性但实际感染）；
  • 真阴性概率 （未感染则检测必为阴性）。
• 步骤3：用全概公式计算 （检测阴性的总概率）：

• 步骤4：用贝叶斯公式计算 （阴性者实际感染概率）：

• 假阴性存在但概率较低，需对疑似病例（如有症状、接触史）谨慎对待，避免“一票否决”。Bayes逻辑体现“由果推因”：由检测结果（果）反推病因（因），需结合先验信息（如患病率）更新判断。

概率分布的定义

• 定义：概率分布是对随机现象所有可能结果（随机变量取值）及其对应概率的完整描述，回答“随机现象有多少种结果”及“每种结果的概率是多少”。

• 核心要素：
  设随机变量为 （量化随机现象的结果），其取值满足完备性（覆盖所有可能结果）和互不相容性（各取值不重叠），则概率分布可表示为取值与概率的对应集合：

  其中 为随机变量的可能取值， 为对应概率。

• 与频率分布的区别：

  类型	性质	来源	唯一性
  频率分布	经验分布（样本数据）	实际观测与整理（如抽样调查）	不唯一（不同样本频率可能不同）
  概率分布	理论分布（总体规律）	基于概率理论推导（如古典概型）	唯一（总体规律固定）

概率分布的类型（一）：离散型随机变量及其分布

• 离散型随机变量定义：可能取值为有限个或可数个离散值的随机变量（如“掷骰子的点数”“抽取的白球个数”）。

• 概率分布表示：列举离散型随机变量的全部可能取值及对应概率，形式为：

• 概率分布的两个核心性质：

  1. 非负性：每个取值的概率非负，即 （概率不能为负）。

  2. 规范性：所有取值的概率之和为1，即 （覆盖所有可能结果）。

概率分布的类型（一）：离散型随机变量及其分布

• 示例1：抛掷骰子的点数（X）：

  	1	2	3	4	5	6
  	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

满足性质：，。

• 示例2：扔硬币的结果：

  	1（正面）	0（负面）
  	1/2	1/2

满足性质：，。

• 例题：：袋中有5黑3白共8球，不放回抽取至黑球为止，设X为“取到的白球个数”，求X的概率分布（见下页）。

概率分布的类型（二）：连续型随机变量及其分布

• 连续型随机变量定义：可能取值为连续充满某个区间的随机变量（如“人的身高”“时间长度”），可取区间内任意实数值。

• 关键特点：

  • 单个点的概率为0，即 （因区间内点无限多，单个点占比可忽略）。

  • 因此，讨论某一点取值的概率将是没有意义的，需研究“区间内的概率”（如 ）。

概率分布的类型（二）：连续型随机变量及其分布

概率密度函数（）

• 我们取 在范围 内的概率：

• 当 时，

• 但如果我们研究概率和区间的比值，由于分子、分母同时趋向于零，则其比例一般不为零

• 定义“概率与区间长度的比值极限”为概率密度，公式为：

  几何意义：概率密度曲线 与x轴围成的面积表示概率。

概率分布的类型（三）：分布函数（累计分布函数）

• 定义：为统一描述离散型与连续型随机变量的概率，引入分布函数，定义为“随机变量 取值不超过 的概率”，即：

  几何意义：离散型变量中， 是左侧所有取值的概率和；连续型变量中， 是概率密度曲线在上的面积。

• 分布函数的核心作用：

  1. 统一概率计算：无论离散或连续变量，均可通过计算任意区间的概率：

  2. 简化查表与应用：可预先编制的数值表，快速查询概率（如正态分布表）。

概率分布的类型（三）：分布函数（累计分布函数）

• 示例（离散型变量：教育程度分布）：

则 ，，以此类推。

• 性质： 是单调非减函数，且 ，。

概率分布的类型（三）：分布函数（累计分布函数）

• 分布函数与概率函数/密度函数的关系：

  变量类型	与分布函数的关系	公式
  离散型	分布函数是概率函数的累计和
  连续型	分布函数是概率密度函数的积分

和 (离散变量)或 (连续变量)的关系就像向上累计频率和频率的关系一样。不同之处在于累计的是概率。

使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对离散型随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点都固定为 ，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。

数学期望和方差

• 在前面单变量统计描述的讨论中，我们得到频数（或频率）分布后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离散趋势。

• 而对集中趋势和离散趋势量度，我们分别得到了集中值和离散值，其中最有代表性的是均值和标准差。很显然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出数学期望和方差（标准差）这两个概念。

数学期望（均值）的定义与计算

• 核心意义：数学期望（记为或）是随机变量取值的理论均值，反映随机变量取值的集中趋势（类似样本均值，但针对总体规律）。

• 1. 离散型随机变量的数学期望：
  设离散型变量的概率分布为 （），若级数 绝对收敛，则称级数为的数学期望，或称均值，记为。

  数学期望公式为：

  示例：掷骰子的点数X，。

数学期望（均值）的定义与计算

• 2. 连续型随机变量的数学期望：
  设连续型变量的概率密度为，若积分 绝对收敛，则称此积分为的数学期望，记为：

  示例：均匀分布（区间内取值等可能）的数学期望 。

• 关键说明：

  数学期望是“期望出现的均值”，并非实际观测值，但出现该均值的可能性最大；它是总体均值的理论值，区别于样本均值（经验值）。

数学期望的性质（1-3）

• 性质1：常数的数学期望等于该常数：

  若C为常数，则 （常数取值固定，期望即其本身）。

  示例：。

• 性质2：随机变量与常数之和的期望：

  （常数不影响期望的集中趋势，仅平移变量）。

  示例：若，则。

• 性质3：常数与随机变量乘积的期望：

  （常数放大或缩小期望的数值）。

  示例：若，则。

数学期望的性质（4-6）

• 性质4：线性组合的期望（性质2+3）：

  （常数C缩放、b平移，期望同步变化）。

  示例：若，则。

• 性质5：两个随机变量之和的期望：

  （期望具有可加性，与变量是否独立无关）。

  示例：，即使X与Y相关。

• 性质6：两个独立随机变量乘积的期望：

  若与相互独立，则 （独立变量的乘积期望等于期望的乘积）。

  示例：X（掷骰子）与Y（掷硬币，1=正，0=反）独立，。