第二章 单变量统计描述分析

分布图分析

1. 峰点研究

• 单峰图形：只有一个峰值，表明数据有一个单一的、最集中的中心点。

• 多峰图形：有两个或更多的峰值，表明数据中存在多个独立的集中点或不同的亚群体。

分布图分析

1. 对称研究

• 非对称、偏态图形：数据不均匀地分布在中心点两侧，偏向一侧。

  • 左偏态（负偏态）：尾部向左延伸，峰值位于右侧。平均数 < 中位数 < 众数。
  • 右偏态（正偏态）：尾部向右延伸，峰值位于左侧。众数 < 中位数 < 平均数。
  • 揭示数据的异常或极端情况：数据中存在一些异常值或极端情况,使均值无法准确代表数据的中心。
  • 提供额外信息：了解数据的偏态方向可以帮助我们更好地理解数据的内在性质。例如，右偏态的收入分布告诉我们，尽管平均收入可能较高，但大多数人的收入其实低于平均水平。

集中趋势（Central tendency）

• 在统计学中我们既可用分布全面地研究变量，也可用典型变量值或特征值——集中趋势对变量进行简明扼要的研究。

• 目的：用来估计和预测变量时所产生的误差最小。

• 方法

  • 众值（频次）、中位值（居中）、均值（平均）

中位值（Median, ）

• 定义：将数据排序后，位于中间位置的数值，不受极端值影响。

• 适用层次：定序、定距、定比变量（不适用于定类变量）。

• 计算：

  1. 未分组数据：
     • N为奇数： = 第(N+1)/2个值
     • N为偶数： = 第N/2与第(N/2+1)个值的平均值
  2. 分组数据：

     • 为中位值组的真实下界值； 为中位值组的真实上界值； 为调查总数（全部个案数）；
       为中位值组的频数； 为低于中位值组真实下界的累加次数。

均值（Mean, ）

• 定义：所有数据的算术平均值，反映数据的平均水平。
• 适用层次：仅定距、定比变量。受极端值影响较大，适合对称分布数据。
• 计算：
  1. 未分组数据：
     • 根据原始资料求均值（各变量值的频次相等：简单算术平均法）
     • 根据频次分布求均值（各变量值的频次不等：加权算术平均法）

  2. 分组数据（组中值替代原始值）：设数据组，每组的组中值为 ，每组频次为 。则：

众值、中位值与均值的关系

• 对称分布：均值 = 中位值 = 众值
• 右偏分布：众值 < 中位值 < 均值（极端大值拉高均值）
• 左偏分布：均值 < 中位值 < 众值（极端小值拉低均值）

众值、中位值与均值的关系

• 选择原则：

  • 定类变量：必用众值 。

  • 定序变量：可用众值 ，但首选中位值 。

  • 定距/定比变量：、、 均可用，但首选均值 （除非有极端值或开口组）。

    • 在分组资料中的极端组没有组限时，不能求出均值，只能用中位值；

    • 变量中有个别的数值非常特殊（过高或过低），则均值的代表性就有疑问，用中位值较为适合。

离散趋势（Dispersion）

• 离散趋势测量法是要求出一个值来表示个案与个案之间的差异情况。反映各变量值远离其中心值的程度，因此也称为离中趋势。从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度。

• 目的：衡量使用集中值估计和预测总体时的误差大小。

• 方法

  • 异众比率、极差、四分互差、方差和标准差

异众比率（Variation Ratio, ）

• 定义：非众值的频次占总频次的比例，衡量众值的代表性。
• 适用层次：定类、定序、定距、定比变量（配合众值使用）。
• 公式：
  是数据总个数；为众值频次。
• 特点：
  • 当时：所有数据为众值，代表性最强。
  • 当时：数据分散，众值几乎无代表性。

极差与四分互差

1. 极差（Range, R）：

   • 定义：最大值与最小值之差，反映数据波动范围。

   • 适用层次：定序、定距、定比变量（配合中位值使用）。

   • 特点：

     • 离散程度的最简单测度值。

     • 受极端值影响大，仅反映两端差异。

     • 未考虑数据的分布。

   • 公式：

     • 未分组数据：

     • 组距分组数据：

极差与四分互差

2. 四分互差（Interquartile Range, Q）：
   • 定义：上四分位数（Q₃）与下四分位数（Q₁）之差，反映中间50%数据的分散程度。
   • 适用层次：定序、定距、定比变量（配合中位值使用）。
   • 特点：反映了中间50%数据的分散程度，不受极端值的影响，较好地衡量中位值的代表性。
   • 公式：
     • 未分组数据： ， ，
     • 分组：类似中位值计算（替换N/2为N/4和3N/4）。
       • 第一步：计算向上累加次数（ ）
       • 第二步：求出和的位置
       • 第三步：参考累加次数分布，决定和的位置应属于哪一组。
       • 第四步：从所属的组中，计算位置和的相对位置及对应数值。
       • 第五步：

方差与标准差

• 定义：
  • 方差（）：各数据与均值差的平方的平均值。
  • 标准差（）：方差的平方根，与原数据单位一致。
• 适用层次：仅定距、定比变量（配合均值使用）。
• 特点：反映所有数据与均值的平均差异，灵敏度高。
• 公式

• 标准差公式：

  • 未分组资料（根据原始资料）

  • 未分组资料（根据频次分布）

  • 根据分组资料（用组中心值替代变量值）

• 标准差计算例题：
  • 某社区志愿者的年龄分布情况如下，求标准差及方差。

离散趋势测量法的总结

• 互补关系：集中趋势反映数据的代表性，离散趋势反映估计误差，二者结合更全面描述数据分布。